#1 13. Februar 2010 Hi, ich mach es kurz. In einer Altklausur ist es Aufgabe Aussagen als falsch oder wahr einzuschätzen. Darunter auch diese Aussage: "Ist f' nicht beschränkt, so ist auch f nicht beschränkt." Diese Aussage ist laut Lösung wahr(Edit: Die Musterlösung sagt, diese Aussage ist falsch, nicht wahr. Schneller gedacht als getippt.) Hätte da jemand ein Beispiel parat? Denn so wie ich das sehe, sagt mir eine zB nach oben nicht beschränkte (und somit ja allgemein nicht beschränkte, denn soweit ich weiß nennt man eine Funktion (allgemein) beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist (oder?)) Ableitung, dass die dazugehörige Stammfunktion mit zunehmender Steigung wächst. Wie also sollte die dann beschränkt sein? Danke für Hilfe. Greets
#2 13. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) f(x) = e^x f'(x) = e^x beide nach oben nicht beschränkt...
#3 13. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) Ach ich Depp, schneller gedacht als getippt. Laut Musterlösung ist diese Aussage falsch. Meiner ganzer erster Post macht ja so wie er ist auch sonst gar keinen Sinn. Sorry.
#4 13. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) Wenn eine Funktion als beschränkt bezeichnet wird, dann besitzt sie sowohl eine obere als auch eine untere Schranke. d.h., dass sie zwischen irgendwelchen Werten liegt und diese nicht übersteigt. Mir wüde da als Bsp. spontan erstmal der Sinus/Kosinus einfallen. Dieser ist nach oben und unten beschränkt. Und die Ableitung des Sin/Cos ist ja immer wieder cos/sin. Bei anderen Funktioinen wäre das so: Wenn eine Funktion nicht weiter ansteigt/abfällt, dann ist sie beschränkt. D.h., dass die Ableitung (die ja den Anstieg einer Funktion angibt) gegen 0 Streben müsste. Also dürfte die Ableitung auch nie einen unendlichen Wert erreichen. Wenn also f'(x) immer weiter ansteigt (also unbeschränkt ist), dann steigt f(x) auch immer weiter an! Ein weiteres Bsp. für eine oben und unten beschränkte Funktion ist: 1/(x2 + 1) Die Beschränktheit sieht man ganz gut hier: 1/(x2 + 1) - Wolfram|Alpha Gruß
#5 13. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) Ganz einfach: Wenn eine Ableitungsfunktion f'(x) nicht beschränkt ist geht die Funktion [und damit der Anstieg von f(x)] im Unendlichen (für x -> unendlich) gegen + / - Unendlich. D.h. auch die Stammfunktion f(x) steigt immer weiter an oder fällt immer weiter und geht somit gegen + / - Unendlich. Im Falle einer Polstelle: f'(x) geht an einer Stelle von zwei Seiten gegen einmal + und einmal - Unendlich. Dadurch steigt auch die Funktion "extrem an" bzw "fällt extrem", also geht ins (+/-)Unendliche. So lässt sich das glaube ich ganz gut vorstellen. Ich hoffe das war einigermaßen nachvollziehbar Beispiele gab es ja schon genug. Gruß das war vor dem edit -.- ich suche nach gegenbeispielen
#6 13. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) Jungs, wie mittlerweile oben geändert hatte ich mich vertan und die Aussage ist falsch nicht wie erst geschrieben wahr, eure Erklärungen sind damit hinfällig, da falsch. Abgesehen davon habt ihr es mir aber alle exakt genauso erklärt, wie ich im ersten Post, was zwar schonmal schön zu wissen ist, dass man nicht der Einzige ist, der das für so offensichtlich richtig hält, obwohl es eben falsch ist, aber weiter hilft es mir nicht und außerdem fragt man sich, ob ihr den ersten Post überhaupt komplett gelesen habt. :x
#7 13. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) Die Aussage "Ist f' nicht beschränkt, so ist auch f nicht beschränkt." sollte sicher so gewertet werden, dass sie allgemein gültig ist. Also hab ich mir -bevor du deinen Beitrag editiert und deinen Fehler korrigiert hast - gedanken darüber gemacht. Dabei sind mir halt die Bsp. eingefallen, die ich schon genannt habe. Darüber musst du dich doch nicht aufregen. Falls du dich angegriffen fühlst, weil ich dir bei einem Problem helfen wollte...bitteschön Dass die Aussage eigentlich falsch ist, kann gut möglich sein. Nur fallen mir dazu keine Beispiele ein. Denn wenn eine Ableitung nicht beschränkt ist, dann überträgt sie zsozusagen ihrer Stammfunktion einen im Betrag immer größeren Anstieg. Daraus folgt dann auch, dass die Funktion f nicht beschränkt ist. Wenn dann müsste die funktion f' von 0 kommend (Asymptote) bis zu einem Wert ansteigen/abfallen (Extrempunkt) und dann wieder nach 0 gehen. Denn dann hat auch die f eine Schranke bzw. einen Grenzwert. Wahlweise könnte die Funktion auch einfach alternieren, wie es der sin/cos tut. Mich würde demnach auch interessieren, welche Funktion die Falschheit der Aussage bekräftigt.
#8 13. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) wie dumm von mir -.- ...einfachstes beispiel überhaupt: f'(x) = 2x -> nicht beschränkt, geht von - unendlich bis + unendlich f(x) = x^2 -> nach unten beschränkt ! ganz einfach
#9 13. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) stimmt. Aber nur, wenn es um obere oder untere Beschränktheit geht. volle Beschränktheit ist ja in x^2 ja nicht gegeben.
#10 13. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) Eben. Dass das für Beschränkheit in eine Richtung gilt, ist klar, aber wenn da nur beschränkt steht, dann heißt das sowohl nach oben als auch nach unten.
#11 13. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) f(x) = sin(1/x) würd ich vorschlagen. Der Sinus ist an sich begrenzt, während zur 0 hin die Steigung beliebig groß wird.
#12 13. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) Joa stimmt. Sehr gut, danke dir. Find ich aber schon eine harte Nuss die Frage. :X
#13 14. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) nicht beschränkte funktion bedeutet in beide richtungen unbeschränkt !!! x^2 ist in eine richtung beschränkt, das bedeutet, sie ist NICHT unbeschränkt! ist ein absolutes gegenbeispiel... was du daran zu mäkeln hast verstehe ich nicht... nur in eine richtung hin oder her, beschränkt ist beschränkt, unbeschränkt ist unbeschränkt das ist doch das einfachste gegenbeispiel überhaupt f(x) ist hier beschränkt, so einfach ist es! hin oder her ist doch wurst, eins davon reicht
#14 14. Februar 2010 AW: Mathematische Aussage - suche Beispiel (Differentation, Beschränktheit) Sollte geklärt sein. Closed.